2.2.1 Классическое определение вероятности


Теория

Практика

Задачи для самостоятельного решения


Классическое определение вероятности впервые было сформулировано в курсе лекций Лапласа, которые он читал в 1795 году и опубликовал, как "Опыт философии теории вероятностей".

Пусть пространство элементарных событий ω состоит из конечного числа равновозможных элементарных исходов:

W = {ω1, ω2, ... ωn}

Произвольное событие А в этом случае можно представить так:

, где .

Заметим, что событию А соответствует к элементарных исходов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2.1.1
ВЕРОЯТНОСТЬЮ события А называется число, равное отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А, к общему числу исходов.

ОБОЗНАЧЕНИЕ:

От латинского слова probability.


СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ.


1. Р(ωi) = 1/n, " i= 1, ... , n.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Каждому элементарному событию соответствует только один элементарный исход.

2. Р (W) = 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Событию W соответствует n элементарных исходов.

3. Р (Ж) = 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Невозможному событию не соответствует ни одного исхода, то есть k = 0.

4. , " A М W.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Событию А соответствует k исходов, , следовательно,

5. Р (А + В) = Р (А) + Р (В), " A, B М W : AB = Ж.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть событию А соответствует m исходов, а событию В соответствует k исходов; тогда событию А + В будет соответствовать m + k исходов.

6. Если Р (А) = 0, то А = Ж.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Предположим, что А Ж. Тогда событию А соответствует хотя бы один элементарный исход. То есть и , что противоречит условию.


ЗАМЕЧАНИЕ. Еще раз отметим, что классическое определение вероятности можно применять лишь в тех случаях, когда:

1) пространство элементарных событий состоит из конечного числа элементарных исходов;

2) элементарные исходы равновероятны.


Второе условие на практике оценивается чаще всего с точки зрения здравого смысла.

Например, в опыте с бросанием монеты события: появление "герба" и появление "решетки" равновероятны. Причем, вероятность каждого из них - 0.5.

А в опыте с бросанием кубика из детского набора "Юный математик", на грани которого нанесены цифры: 1, 7, 0, 1, 2, 4, элементарные события уже не равновероятны; так как появлению цифры 1 соответствуют две грани, а появлению остальных цифр по одной.

К данной модели можно применить классическое определение, если на гранях с цифрами 1 сделать дополнительные пометки: например, 1', 1''; и вместо элементарного события ω1 рассмотреть два элементарных события ω1' и ω1''. Пространство элементарных событий в таком случае уже будет иметь вид:

W = {ω1'1'', ω7, ω2, ω0, ω4}

Событие А - появление четной цифры: A = {ω0, ω2, ω4}.

Событие В - появление нечетной цифры: B = {ω1', ω1'', ω7}.

Событие С - появление простого числа: С = {ω0, ω7}.


ЗАДАЧА 2.2.1.1 Из букв слова УРАВНЕНИЕ выбирается наугад одна буква. Какова вероятность, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой Щ?

РЕШЕНИЕ.

а) k = 5, n = 9; P(A) = 5/9.

б) k = 4, n = 9, P(A) = 4/9.

в) k = 0, n = 9, P(A) = 0.


ЗАДАЧА 2.2.1.2 Из хорошо тасованной колоды, содержащей 52 карты, наугад выбирается одна карта. Найти вероятность того, что: а) она окажется бубновой масти; б) она окажется тузом; в) она окажется черной масти; г) эта карта либо туз, либо король, либо дама, либо валет, либо десятка.

РЕШЕНИЕ.

а) n = 52, k = 13; P(A) = 13/52.

б) n = 52, k = 4; P(A) = 4/52.

в) n = 52, k =26; P(A) = 26/52.

г) n = 52, k = 20; P(A) = 20/52.


ЗАДАЧА 2.2.1.3 Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения: а) 3-х очков; б) более трех очков; в) менее трех очков; г) четного числа очков; д) нечетного числа очков?

РЕШЕНИЕ.

а) n = 6, k = 1, P(A) = 1/6.

б) n = 6, k =3, P(A) = 3/6.

в) n = 6, k =2, P(A) = 2/6.

г) n = 6, k = 3, P(A) = 3/6.

д) n = 6, k = 3, P(A) = 3/6.


ЗАМЕЧАНИЕ. Решая предыдущие задачи, мы не описывали пространство элементарных исходов, так как ситуации были достаточно простые, и определить общее количество элементарных исходов и количество исходов, благоприятствующих событию, не составляло особого труда.


ЗАДАЧА 2.2.1.4 Бросаются две монеты. Какова вероятность того, что они обе упадут: а) кверху "гербом", б) одна кверху "гербом", а другая кверху "решеткой"?

РЕШЕНИЕ.

Введем обозначения так: Г - появление "герба", Р - появление "решетки".

Тогда пространство элементарных событий будет иметь следующий вид:

W = {(Г,Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}.

а) n =4, k = 1; P(A) = 1/4.

б) n = 4, k = 2; P(A) = 2/4 = 1/2.


ЗАДАЧА 2.2.1.5 Бросаются одна за другой две игральные кости. Какова вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна 3; б) сумма выпавших очков равна 4; в) сумма выпавших очков равна 11; г) на одной кости выпало 5 очков, а на другой кости - меньше 5 очков?

РЕШЕНИЕ.

Пусть ωi - событие, состоящее в том, что на кости выпало i очков.

Пространство элементарных исходов для данного опыта будет иметь вид:

W = {ωi, ωj}, i = 1, ... , 6; j = 1, ... , 6.

а) n = 36, A = {(ω1, ω2),(ω2, ω1)}, k = 2; P(A) = 2/36 = 1/18.

б) n = 36, A = {(ω1, ω3), (ω22), (ω31)}, k = 3; P(A) = 3/36 = 1/12.

в) n = 36, A = {(ω56), (ω65)}, k = 2; P(A) = 2/36 = 1/18.

г) n = 36, A = {(ω51), (ω52), (ω53), (ω54), (ω15), (ω25), (ω35), (ω45)}, k = 8; P(A) = 8/36 = 2/9.


ЗАДАЧА 2.2.1.6 В семье трое детей. Какова вероятность того, что все они мальчики? (Близнецов в семье нет).

РЕШЕНИЕ.

Введем обозначения: М - мальчик, Д - девочка.

Пространство элементарных событий имеет вид:

W = {(М,М,М), (М,М,Д), (М,Д,М), (М,Д,Д), (Д,М,М), (Д,М,Д), (Д,Д,М), (Д,Д,Д)}.

Следовательно, n = 8, k = 1; P(A) = 1/8.


ЗАМЕЧАНИЕ. При решении задач не всегда бывает удобно выписывать все элементарные события, так как их может оказаться очень много. Во многих случаях бывает достаточно просто подсчитать их количество, опираясь на методы комбинаторики.

Например, в задаче 2.2.1.6 число n можно было определить так: первый ребЈнок - 2 варианта, второй ребЈнок - 2 варианта, третий ребенок - 2 варианта; следовательно, n = 2ћ2ћ2 = 8.


ЗАДАЧА 2.2.1.7 Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.

РЕШЕНИЕ.

Нетрудно понять, что для того чтобы распилить кубик на 1000 маленьких кубиков, необходимо каждое ребро распилить на 10 одинаковых частей. По две окрашенные грани могут иметь только кубики, прилегающие к боковым ребрам и не совпадающие с вершинами. Следовательно, n = 1000, k = 12ћ8 = 96; P (A) = 0,096.


ЗАДАЧА 2.2.1.8 В ящике в 5 раз больше красных шаров, чем черных (шары одинаковы во всем за исключением цвета). Наугад выбирается один шар. Найти вероятность того, что он будет красным.

РЕШЕНИЕ.

Пусть число черных шаров - x;

тогда, число красных шаров - 5x.

Следовательно, n = x + 5x = 6x, k = 5x; P(A) = 5x / 6x = 5/6.


ЗАДАЧА 2.2.1.9 Правильным икосаэдром называется правильный двадцатигранник, все грани которого совершенно равноправны. Некоторые из граней окрашены в красный цвет, а остальные в синий. Если при бросании икосаэдра обнаружилось, что вероятность его остановки на красной грани в четыре раза больше вероятности его остановки на синей грани, то сколько его граней окрашено в красный цвет?

РЕШЕНИЕ.

Пусть x - количество красных граней; тогда 20 - x - количество синих граней.

Обозначим: К - событие, состоящее в том, что выпадает красная грань,

С - событие, состоящее в том, что выпадает синяя грань.

Р(К) = x/20; P(C) = (20 - x) / 20.

Учитывая условие, получаем уравнение:


Решая его, получаем, что x =16.


ЗАДАЧА 2.2.1.10 Пять мячей, пронумерованных от 1 до 5, положены в ящик; после чего они вынимаются один за другим случайным образом. Какова вероятность того, что их будут вынимать в следующем порядке: 5, 2, 4, 3, 1?

РЕШЕНИЕ.

n = 5! = 120 - число перестановок множества из 5 различных элементов;

k = 1, P(A) = 1/120.


ЗАДАЧА 2.2.1.11. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что они различные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

РЕШЕНИЕ.

n = = 720, k = 1; P(A) = 1/720.


ЗАДАЧА 2.2.1.12 Трехзначное число образовано случайным выбором трех неповторяющихся цифр из набора 1, 2, 3, 4, 5. Какова вероятность того, что это число: а) четное; б) нечетное; в) делится на 5?

РЕШЕНИЕ.

Для каждой из предлагаемых ситуаций n = = 60.

Для того чтобы определить число исходов, благоприятствующих каждой ситуации, необходимо поставить себя на место человека, который хочет подтасовать результат, и определить: сколькими способами это можно сделать.

а) Сначала выберем последнюю цифру (она должна быть четной) - 2 способа. Две другие выбираем из оставшихся 4-х - = 12 способов.

Следовательно, k = 2ћ12=24; P(A) = 24/60 = 2/5.

б) Сначала выбираем последнюю цифру (она должна быть нечетной) - 3 способа; затем две оставшиеся - = 12 способов; следовательно, k = 36;

P(A) = 36/60 = 3/5.

в) Для последней цифры только один вариант, следовательно, k = 1 ћ

P(A) = 12/60 = 1/5.


ЗАДАЧА 2.2.1.13 Из карточной колоды (52 карты) извлекаются одна за другой две карты. Чему равна вероятность того, что первая карта - туз, а вторая - валет?

РЕШЕНИЕ

n = = 2652, k = 4 ћ 4 = 16 ; P(A) = 16/2652 = 4/663.


ЗАДАЧА 2.2.1.14 Из карточной колоды (52 карты) извлекаются 6 карт. Определить вероятность того, что среди них будут представители всех мастей.

РЕШЕНИЕ.

; в отличии от предыдущей задачи, порядок значения не имеет.

Определяя k, поступим следующим образом:

cначала отберЈм по одному представителю каждой масти: 13ћ13ћ13ћ13 способов; затем оставшиеся 2 карты: . Следовательно,

.

P(A) = 2197/4165.


ЗАДАЧА 2.2.1.15 В коробке 5 одинаковых изделий; причем 3 из них - окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди них окажутся: а) одно окрашенное; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

РЕШЕНИЕ.

Для каждой из рассматриваемых ситуаций n = = 30.

а) k = = 6; P(A) = 6/30 =1/5.

б) k = = 3; P(A) = 3/30 = 1/10.

в) k = 6 + 3 = 9 (хотя бы одно, это либо только одно, либо только два); P (A) = 9/30 = 3/10.


ЗАДАЧА 2.2.1.16 Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность, что при случайном расположении букв в ряд, он получит слово МАТЕМАТИКА?

РЕШЕНИЕ.

.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из рассмотренных выше задач видно, что прежде чем Вы приступите к самостоятельной работе, необходимо повторить главу "Элементы комбинаторики".


ЗАДАЧА 2.2.1.17

В теннисном турнире участвуют 8 игроков.

Номер, вытаскиваемый игроком наудачу, определяет его положение в турнирной лестнице:

Предположим, что лучший игрок всегда побеждает второго по мастерству; который, в свою очередь, побеждает всех остальных. Проигрывающий в финале занимает второе место. Какова вероятность того, что это место займет второй по мастерству игрок?

РЕШЕНИЕ.

Нетрудно понять, что все зависит от результатов жеребьевки второго по мастерству относительно номера лучшего игрока. Всего вариантов - 7, а благоприятных - 4 (они должны быть в разных подгруппах). Следовательно, Р (А) = 4/7.



Задачи для самостоятельного решения.


ЗАДАЧА 2.2.1.1(С) Числа от 1 до 15 написаны на 15 мячах (по одному на каждом мяче). Выбирается наугад один мяч. Чему равна вероятность того, что число, написанное на этом мяче: а) делится на 5; б) четное; в) нечетное; г) является точным квадратом; д) является двузначным; е) является простым; ж) является простым и таково, что число, меньшее его на 2, также простое?

Ответ



ЗАДАЧА 2.2.1.2(С) Бросаются одна за другой две игральные кости. Чему равна: а) вероятность не выпадения дубля; б) вероятность того, что число очков на одной кости в два раза больше числа очков на другой кости; в) сумма выпавших очков равна 8, а разность 4?

Ответ



ЗАДАЧА 2.2.1.3(С) В старинной индейской игре "Тонг" два игрока одновременно показывают друг другу либо один, либо два, либо три пальца на правой руке. Если для каждого игрока равнозначно показать один, два или три пальца, то чему равна вероятность того, что общее число показанных пальцев: а) четно; б) нечетно; в) больше четырех; г) меньше двух; д) простое?

Ответ



ЗАДАЧА 2.2.1.4(С) В сумке лежат 10 мячей, пронумерованных от 1 до 10. Наугад вынимают два мяча. Какова вероятность, что это мячи с номерами 3 и 7?

Ответ



ЗАДАЧА 2.2.1.5(С) В лифт 8-ми этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Предположим, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пятеро выйдут на разных этажах.

Ответ



ЗАДАЧА 2.2.1.6(С) М друзей садятся рядом случайным образом за круглый стол. Найти вероятность того, что: а) два фиксированных лица А и В сядут рядом, причем А слева от В; б) три фиксированных лица А, В, С сядут рядом, причем А справа от В; а С слева; в) рассмотреть те же ситуации для случая, когда друзья садятся в ряд по одну сторону прямоугольного стола.

Ответ



ЗАДАЧА 2.2.1.7(С) В отделе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

Ответ



ЗАДАЧА 2.2.1.8(С) Из партии, состоящей из 20 радиоприемников, случайным образом для проверки отбираются 3 приемника. Партия содержит 6 неисправных приемников. Какова вероятность того, что в число отобранных войдут: а) только неисправные приемники; б) только исправные приемники; в) один неисправный и два исправных приемника?

Ответ




Идем дальше

© Центр дистанционного образования ОГУ, 2000